Calcolo proporzioni (regola del tre)

A cosa serve il calcolo delle proporzioni

Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti: A sta a B come C sta a X. Quando conosci tre termini, il quarto si ricava con la regola del tre, uno dei calcoli più usati nella vita di tutti i giorni: al mercato, in cucina, per leggere una cartina in scala o per convertire unità di misura. A scuola si impara alle medie, ma serve anche molto dopo.

Nel calcolatore la imposti come sul quaderno: A corrisponde a B, C corrisponde a X. Il risultato si aggiorna mentre scrivi, senza pulsante da premere.

Proporzione diretta: medi ed estremi

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando crescono insieme e nello stesso rapporto. Allora A : B = C : X e, poiché il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

A × X = B × C, quindi X = B × C ÷ A

Con i valori di esempio, 4 → 12 e 6 → X: 4 × X = 12 × 6 = 72, quindi X = 72 ÷ 4 = 18. Se 4 kg di mele costano 12 €, 6 kg costano 18 €.

Proporzione inversa

Non tutte le grandezze si comportano così. Se 4 imbianchini impiegano 12 giorni per tinteggiare un palazzo, 6 imbianchini non ci metteranno 18 giorni, ma meno. Qui a restare costante è il prodotto: 4 × 12 = 48 giornate di lavoro, chiunque le faccia. Quindi:

A × B = C × X, quindi X = A × B ÷ C

Con gli stessi numeri X = 4 × 12 ÷ 6 = 8 giorni. Prova a passare da Diretta a Inversa nel calcolatore: il risultato passa da 18 a 8. È l’errore più comune nei compiti: fare bene i conti con il tipo di proporzione sbagliato.

Velocità e tempo di percorrenza, persone che si dividono una spesa, rubinetti che riempiono una vasca, macchine che svolgono lo stesso lavoro: sono tutti esempi di proporzionalità inversa.

Proporzione composta

A volte cambiano più grandezze insieme. Esempio: 6 operai costruiscono 30 m di muro in 10 giorni. Quanti giorni servono a 8 operai per costruirne 60 m? Confronta ogni grandezza con quella che cerchi (i giorni), una alla volta:

• Più operai, meno giorni: relazione inversa, moltiplichi per 6/8.
• Più metri, più giorni: relazione diretta, moltiplichi per 60/30.

X = 10 × 6/8 × 60/30 = 3.600 ÷ 240 = 15 giorni. È l’esempio già pronto nella modalità Composta, e puoi aggiungere una terza grandezza, come le ore di lavoro al giorno (inversa).

Come controllare il risultato

Un controllo veloce scova quasi tutti gli errori. In una proporzione diretta, se C è più grande di A anche X deve essere più grande di B; in una inversa vale il contrario. Se il risultato va nella direzione sbagliata, probabilmente hai scelto il tipo di relazione sbagliato. Per percentuali, aumenti e sconti c’è il calcolo percentuale, che fa tutto in un passaggio. Per i soldi che crescono nel tempo, come un risparmio con gli interessi, la proporzione non basta: usa il calcolo dell’interesse composto.